如图.抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A.交y轴于点C.抛物线的顶点为D.下列四个命题:①当x＞0时.y＞0,②若a=-1.则b=4,③抛物线上有两点P(x1.y1)和Q(x2.y2).若x1＜1＜x2.且x1+x2＞2.则y1＞y2,④点C关于抛物线对称轴的对称点为E.点G.F分别在x轴和y轴上.当m=2时.四边形EDFG周长的最小值为6$\sqrt{2}$．其中真命题的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，抛物线y=-x²+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=-1，则b=4；
③抛物线上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6$\sqrt{2}$．
其中真命题的序号是（　　）

A．

①

B．

②

C．

③

D．

④

分析 ①根据二次函数所过象限，判断出y的符号；
②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；
③根据$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，得到x₁＜1＜x₂，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y₁＞y₂；
④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答．

解答解：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；
②二次函数对称轴为x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，当a=-1时有$\frac{-1+b}{2}$=1，解得b=3，故本选项错误；
③∵x₁+x₂＞2，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，
又∵x₁-1＜0＜x₂-1，
∴Q点距离对称轴较远，
∴y₁＞y₂，故本选项正确；
④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m=2时，二次函数为y=-x²+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；
则DE=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$；D′E′=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{58}$；
∴四边形EDFG周长的最小值为$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，故本选项错误．
故选C．