Question

已知：关于x的一元二次方程ax²＋2ax＋c＝0的两个实数根之差的平方为m．(1)试分别判断当a＝1，c＝－3与a＝2，c＝时，m≥4是否成立，并说明理由；(2)若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)当a＝1，c＝－3时，m≥4成立；当a＝2，c＝时，m≥4不成立． 　　当a＝1，c＝－3时，原方程为x2＋2x－3＝0，则x1＝1，x2＝－3， 　　∴m＝〔(1－(－3)〕2＝16＞4，即m≥4成立． 　　当a＝2，c＝时，原方程为2x2＋4x＋＝0， 　　由Δ＝42－4×2×＞0，可设方程的两根分别为x1、x2， 　　则x1＋x2＝－2，x1·x2＝． 　　∴m＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－2＜4，即m≥4不成立． 　　(2)依题意，设原方程的两个实数根是x1、x2，则x1＋x2＝－2，x1·x2＝． 　　可得m＝(x1－x2)2＝4－． 　　∵对于任意一个非零的实数a都有4－≥4，∴c＝0． 　　当c＝0时，Δ＝4a2＞0，∴c＝0，m＝4． 　　分析：(1)要计算两个实根之差有两个办法：①求出两个实数根，再求这两个实根之差；②由x1－x2＝，利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1·x2的值，进而求出x1－x2的值．这样就可以判断m≥4是否成立． 　　(2)要使m≥4总成立，则由m＝(x1－x2)2求出与a、c有关的代数式，讨论与a、c有关的代数式何时满足大于或等于4的条件，就可求出c、m的值．