Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动；
（1）若P，Q两点同时出发，几秒后可使△PQC的面积为8cm²？
（2）若P，Q两点同时出发，几秒后PQ的长度为

12 5

5

cm；
（3）△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：

1

2

×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）利用CP=6-x，则CQ=2x，由勾股定理定理可得解；
（3）△ABC的面积的一半等于

1

2

×

1

2

×AC×BC=12cm²，令

1

2

×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．

解答：解：P点的移动速度为1cm/s，Q点的移动速度为2cm/s，所以设CP=6-x，则CQ=2x，
（1）△PQC的面积为8cm²，即（6-x）（2x）=8，
解得x=2或4，
故2秒或4秒后△PQC的面积为8cm²；

（2）PQ的长度为

12 5

5

cm．
即（2x）²+（6-x）²=

144

5

，
解得x₁=x₂=1.2，
故1.2秒后PQ的长度为

12 5

5

cm．

（3）由题意得：
S_△ABC=

1

2

×AC•BC=

1

2

×6×8=24，
即：

1

2

×2x×（6-x）=

1

2

×24，
x²-6x+12=0，
△=6²-4×12=-12＜0，该方程无实数解，
所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用和三角形面积的计算以及一元二次方程的求解，本题中列出关于x的方程并求解是解题的关键．