Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F.

（1）求证： AE为⊙O的切线；

（2）当BC＝8，AC＝12时，求⊙O的半径和BG的长;

（3）在（2）的条件下，求线段BG的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)r=3；（3）BG=2.

【解析】分析：（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是 O的切线；

（2）设 O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到，即可解得R=3，从而求得 O的半径为3；

（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．

详解：（1）连接OM.∵AC＝AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，CE＝BE＝BC，

∵OB＝OM，

∴∠OBM＝∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM＝∠CBM，

∴∠OMB＝∠CBM，

∴OM∥BC，

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴，由(1)得BE＝4，即，解得r＝3，

∴⊙O的半径为3；

（3）过点O作OH⊥BG于点H，

则BG＝2BH，∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，

∴四边形OMEH是矩形，

∴HE＝OM＝3，

∴BH＝1，

∴BG＝2BH＝2.