Question

【题目】如图，等边三角形的边长为4，为边上一点，过点作，交于点，在右侧作等边三角形，记到的距离为，到的距离为，

(1)若，试求线段的长，并求m1、m2的值.

(2)若，用含的代数式表示,，并求在∠C的平分线上时x的值.

Answer 1

【答案】(1)DE=，m1=，m2=0；(2)，，当在的平分线上时x=1.

【解析】

(1)过点作，则 ，延长DP交AC于点G，由题意可得：△BED、△DFP、DGC、均为30°的直角三角形，由可得 ，由等边三角形可得，故 由于 ，可得 故；

（2）由(1)得当点P在三角形ABC内部时，；

①当 时，点P在三角形ABC内部， 此时，同（1）中的思路；②当 时，点P在三角形ABC一边上，同(1)可知，，

③当时，点P在三角形ABC外部时，过点做，则 ， DP与AC交于点G. 由题意可得：△BED、△DFP、DGC、均为30°的直角三角形可得，由等边三角形可得，故，

由DC=BC-BD=4-x可得 ，故；当在的平分线上时，此时在三角形内部 ，有 列出方程 求解即可；

解：(1)如下图，过点作，则 ，延长DP交AC于点G.

∵DE⊥BC，∠EDP=60°，

∴∠PDC=30°，

∵∠C=60°，

∴∠DGC=180°-∠PDC-∠C=90°，

∴，

∵ ，∠B=60°，∠BDE=90°，

∴，

∵ ，∠PDC=30°，PF⊥BC，

∴，

∵，

且∠C=60°，PG⊥AC，

∴，

∴；

(2)由(1)得当点P在三角形ABC内部时，，

①当 时，点P在三角形ABC内部，同(1)如下图，

同(1)可证∠DGC=90°，

∴，

∵，∠B=60°，∠BDE=90°，

∴，

∵ ，∠PDC=30°，PF⊥BC，

∴，

∵DC=BC-BD=4-x，

且∠C=60°，PG⊥AC，

∴，

∴，

②当 时，点P在三角形ABC一边上，

同(1)可知，，

③当时，点P在三角形ABC外部，

如下图，过点做，则 ， DP与AC交于点G.

同(1)可证∠DGC=90°，

∴，

∵BD=x，∠B=60°，∠BDE=90°，

∴，

∵，∠PDC=30°，PF⊥BC，

∴，

∵DC=BC-BD=4-x，

且∠C=60°，PG⊥AC，

∴，

∴，

综上所述，，

当在的平分线上时，易知在三角形内部 ，有，

即 ，

解得 x=1；