Question

【题目】如图，已知抛物线＝与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点，使得的周长最小，并求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点是线段上的一个动点（不与点、重合）．过点作交轴于点．设的长为，问当取何值时，．

Answer 1

【答案】（1），顶点为；（2）；（3）＝，＝

【解析】

（1）由点C的坐标，可求出c的值，再把、代入解析式，即可求出a、b的值，即可求出抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可求出顶点的坐标；

（2）因为、关于抛物线的对称轴对称，连接与抛物线对称轴交于一点，即为所求点，设对称轴与轴交于点，证明，即可求出的长，从而求出点P的 坐标；

（3）根据点A、B、M、C的坐标，可求出，从而求出，根据＝，＝，推出＝，因为，推出 ＝，从而得到＝，，根据，列出关于m的方程，解方程即可.

（1）∵抛物线＝过、，三点，

∴＝，

∴，

解得．

故抛物线的解析式为，

故顶点为．

（2）如图，

∵点、关于抛物线的对称轴对称，

∴连接与抛物线对称轴交于一点，即为所求点．

设对称轴与轴交于点，

∵轴，

∴．

∴．

由题意得＝，＝，＝，

∴，

∴＝．

∴．

（3）如图，∵、，，，

∴＝．

∵＝，

∴．

∵＝，＝，

∴＝．

∵，

∴＝．

∴＝，．

∵＝，

∴＝

．

∴，

解得＝，＝．