题目内容

已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D→A→B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC与P，交BD于点Q．
（1）点D到BC的距离为______；
（2）求出t为何值时，QM∥AB；
（3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形．
（1）
3


（2）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．
BE=CF=
BC-AD
2
=1．
直角三角形CFD中，CF=1，CD=2，cos∠C=
1
2

∴∠C=60°，DF=
3
．
∴∠ABE=∠C=60°
∵QM∥AB
∴∠QMP=60°
∵BM=t，PF=ND=t，FC=1，BC=4
∴PM=3-2t，BP=3-t．
直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=3-2t，QP=
3
（3-2t）．
∵QP⊥BC，DF⊥BC
∴QP∥DF，
∴△BQP∽△BDF，
∴
BP
BF
=
QP
DF
，即
3-t
3
=
3
(3-2t)
3

∴5t=6，即t=1.2（s）
当t=1.2s时，QM∥AB

（3）当0＜t≤2时，三角形BDF中，BF=3，DF=
3
，
∴BD=2
3

三角形BCD中，CD=2，BD=2
3
，BC=4，
因此BD2+CD2=BC2，
即三角形BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∠DBC=30°．
直角三角形BQP中，BP=3-t，∠DBC=30°，
∴PQ=
3
3
（3-t）
因此：S=
1
2
×t×
3
3
（3-t）=-
3
6
t2+
3
2
t
当2＜t＜4时，直角三角形NBP中，∠ABC=60°，BN=4-t，
∴BP=
4-t
2
．
在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=
4-t
2
，
∴QP=
3
(4-t)
6

因此：S=
1
2
×t×
3
(4-t)
6
=-
3
12
t2+
3
3
t

（4）当0＜t≤2时，即N在AD上时，分两种情况进行讨论：
①当∠BMQ=90°，即M与P点重合，那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
解得：t=1.5s．
②当∠BQM=90°，在直角三角形NQD中，ND=t，∠ADB=∠DBC=30°，
∴NQ=
3
3
t．
∵NP=
3

∴QP=
3
-
3
3
t
在直角三角形BQM中，∠DBC=30°，BM=t
∴QM=
1
2
t
在直角三角形QPM中，∠QMP=60°，QM=
1
2
t
∴QP=
3
4
t
∴
3
-
3
3
t=
3
4
t．
解得t=
12
7
s．
当2＜t＜4时，∠BQM=90°
直角三角形BNP中，BN=4-t，∠ABC=60°，
∴BP=
4-t
2
，
∴PM=BM-BP=t-
4-t
2
=
3t-4
2

在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=
4-t
2

∴PQ=
3
(4-t)
6

直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=
3t-4
2

∴PQ=
3
(3t-4)
2

因此
3
(4-t)
6
=
3
(3t-4)
2
，
解得t=1.6s，与此时t的取值范围不符，
因此这种情况不成立．
综上所述，当t=1.5s或
12
7
s，△BMQ是直角三角形．
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1
2
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2
，
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