Question

（2013•宁德）如图1，点A在∠B的边BG上，AC⊥BH于C，AB=5，sin∠B=

3

5

，点P是∠B的边BH上任意一点，连接AP，以AP为直径画⊙O．
（1）若BH与⊙O相切，则BP=

4

；
（2）若BP=

25

4

，求证：AB与⊙O相切；
（3）若AP平分∠GAC，⊙O交射线BG于E，请在图2中，画出符合条件的⊙O，并确定此时BP的值．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质可得AP⊥BH，再根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得AP、AC重合，然后解直角三角形求出BC即为BP的长度；
（2）求出CP，然后根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出△ABC和△PAC相似，根据相似三角形对应角相等可得∠B=∠PAC，再根据∠B+∠BAC=90°求出∠PAC+∠BAC=90°，从而得到PA⊥BC，再根据切线的定义证明即可；
（3）作∠GAC的平分线交BH于P，以AP为直径作⊙O即可，连接PE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEP=90°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EP=CP，然后求出△ABC和△PBE相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EP，再根据BP=BC+CP计算即可得解．

解答：（1）解：∵BH与⊙O相切，AP是⊙O的直径，
∴AP⊥BH，
∵AC⊥BH，
∴AP、AC重合，
∴BP=BC，
∵AB=5，sin∠B=

3

5

，
∴AC=5×

3

5

=3，
BC=

AB2-AC2

=

52-32

=4，
故BP=4；

（2）证明：∵BP=

25

4

，
∴CP=BP-BC=

25

4

-4=

9

4

，
∵

AC

CP

=

3

9 4

=

4

3

，

BC

AC

=

4

3

，
∴

AC

CP

=

BC

AC

，
又∵∠ACB=∠PCA=90°，
∴△ABC∽△PAC，
∴∠B=∠PAC，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，
∴PA⊥AB，
∵AP为直径，
∴AB与⊙O相切；

（3）解：如图，∵AP是⊙O的直径，
∴∠BEP=90°，
∵AP平分∠GAC，
∴EP=CP，
在Rt△ACP和Rt△AEP中，

AP=AP EP=CP

，
∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），
∴AE=AC=3，
∴BE=AB+AE=5+3=8，
∵∠B=∠B，∠ACB=∠BEP=90°，
∴△ABC∽△PBE，
∴

BC

BE

=

AC

EP

，
即

4

8

=

3

EP

，
解得EP=6，
∴BP=BC+CP=BC+EP=4+6=10．

点评：本题是圆的综合题型，主要利用了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，本题灵活运用相似三角形是解题的关键．