Question

（2013•宁德）如图，梯形ABCD，AD∥BC，AD=2，AB=4，BC=3．梯形ABCD绕CD的中点O顺时针旋转180°后的图形与原图形构成四边形ABEF．
（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；
（2）四边形EFGH固定不动，梯形ABCD沿AF方向平移多少后，使得AE⊥BF，并简述理由．

Answer 1

分析：（1）利用两组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出即可；
（2）利用（1）中所求以及菱形的判定与性质进而得出即可．

解答：（1）证明：∵梯形ABCD绕CD的中点O顺时针旋转180°后的图形与原图形构成四边形ABEF，
∴AD=CE，DF=BC，∠FDC=∠DCB，
∴AF=BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）解：梯形ABCD沿AF方向平移1个单位后，使得AE⊥BF；
理由：当AE⊥BF时，由（1）得出四边形ABEF是平行四边形；
则四边形ABEF是菱形，即四边相等，
∵AD=2，AB=4，BC=3，
∴当AF=4时，四边形ABEF是菱形，
∴梯形ABCD沿AF方向平移1个单位后，AF=4，此时使得AE⊥BF．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质等知识，根据菱形的性质得出AF的长是解题关键．