Question

7．把一个斜边长为10cm的含45°角的直角三角板放在三条互相平行的直线a，b，c，且直线a，b的距离和直线b，c之间的距离都是d，求d的值．

Answer 1

分析 如图，作AM⊥c于M，BN⊥c于N．先证明△ACM≌△BCN，推出AM=CN=d，CM=BM=2d，在等腰Rt△ABC中，由AB=10，推出AC=BC=5$\sqrt{2}$
在Rt△ACM中，根据AC²=AM²+CM²，可得d²+4d²=50，解方程即可．

解答 解：如图，作AM⊥c于M，BN⊥c于N．

∵∠AMC=∠BNC=∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACM=∠CBN，
在△ACM和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACM=∠CBN}\\{∠AMC=∠BNC}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCN，
∴AM=CN=d，CM=BM=2d，
在Rt△ABC中，∵AB=10，
∴AC=BC=5$\sqrt{2}$
在Rt△ACM中，∵AC²=AM²+CM²，
∴d²+4d²=50，
∴d=$\sqrt{10}$或-$\sqrt{10}$（舍弃），
∴d=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．