题目内容

在⊙O中，已知⊙O的直径AB为2，弦AC的长为 $数学公式$ ，弦AD的长为 $数学公式$ ，则DC²=________．

2+ $\text{[math]}$ 或 2- $\text{[math]}$
分析：根据垂径定理和勾股定理可得．
解答：

解：连接AD，AC，BC，BD，
∵直径AB=2，弦AC= $\text{[math]}$ ，弦AD= $\text{[math]}$
∴BC²=（AB²-AC²）=2²-（ $\text{[math]}$ ）²=1，
BD²=（AB²-AD²）=2²-（ $\text{[math]}$ ）²=2，
∴BC=1，BD= $\text{[math]}$
∴∠ABC=60°，∠ABD=45°，
过点C作CP⊥AB交于点P，作CQ⊥DQ交于点Q，
则BP= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ ，OQ=OC-CQ=CP= $\text{[math]}$ ，OP=OB-BP= $\text{[math]}$ ，
如果弦AC，AD在同一个半圆，
则DQ=OD-OQ=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²=2- $\text{[math]}$ ．
如果弦AC，AD分别在两个半圆，
则DQ=OD+OQ=1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²=2+ $\text{[math]}$ ．
故答案为 2+ $\text{[math]}$ 或 2- $\text{[math]}$ ．
点评：此题主要考查了垂径定理和勾股定理．分两种情况讨论是解决此类问题的关键．