Question

如图，已知菱形ABCD的边AB=10，对角线BD=12，BD边上有2012个不同的点P₁，P₂，…，P₂₀₁₂，过P_i（i=1，2，…，2012）作P_iE_i⊥AB于E_i，P_iF_i⊥AD于F_i，则P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…+P₂₀₁₂E₂₀₁₂+P₂₀₁₂F₂₀₁₂的值为________．

Answer 1

19315.2
分析：作点E₁关于BD的对称点M，则根据菱形的性质可得点M、P₁、F₁在一条直线上，且MF₁⊥BC，从而可得P_iE_i+P_iF_i等于菱形两边BC与AD之间的距离，结合题意所给条件即可得出答案．
解答：

作点E₁关于BD的对称点M，则P₁M⊥BC，
又∵P₁F⊥BC，
∴M、P₁、F₁在一条直线上，且MF₁⊥BC，
故可得P_iE_i+P_iF_i等于菱形两边BC与AD之间的距离，
又∵AO==8，AC=2AO=16，
∴BN==9.6，
故可得：P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…+P₂₀₁₂E₂₀₁₂+P₂₀₁₂F₂₀₁₂=2012×9.6=19315.2．
故答案为：19315.2．
点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质得出P_iE_i+P_iF_i等于菱形两边BC与AD之间的距离是解答本题的关键，有一定难度．