Question

已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）解方程x²－10x＋16＝0得x₁＝2，x₂＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC,

∴B、C三点的坐标分别是B（2，0）、C（0，8） 将A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表达式y＝ax²＋bx＋8，

_{36a-6b+8=0 4a+2b+8=0 解得a=-2/3 b=-8/3}

∴所求二次函数的表达式为y＝－x²－x＋8

2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，　 ∴AC＝10.

∵EF∥AC, 　∴△BEF∽△BAC.

∴＝ .　　即＝ . ∴EF＝.

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ .

∴＝ .　 ∴FG＝·＝8－m.

∴S＝S_△BCE－S_△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m²＋4m.

自变量m的取值范围是0＜m＜8.

(3)存在． 理由如下:

∵S＝－m²＋4m＝－（m－4）²＋8,　　且－＜0,

∴当m＝4时，S有最大值，S_最大值＝8. ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）

∴△BCE为等腰三角形．