[题目]如图所示.在平面直角坐标系中.抛物线y＝ax2+bx+c经过点A．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.过点D作DE⊥x轴.垂足为E.M是四边形OADE的对角线的交点.点F在y轴的负半轴上.坐标为．(1)求抛物线所对应的函数表达式.并直接写出四边形OADE的形状,(2)当点P.Q分别从C.F两点同时出发.均以每秒1个单位长度的速度沿CB.FA的方向运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，4)，B(－2，0)，C(6，0)．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为E.M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴的负半轴上，坐标为(0，－2)．

(1)求抛物线所对应的函数表达式，并直接写出四边形OADE的形状；

(2)当点P，Q分别从C，F两点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度沿CB，FA的方向运动，点P运动到点O时P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，以P，Q，O，M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．

【答案】(1) y＝－x2＋x＋4，四边形OADE为正方形；（2）当0≤t＜2时，S＝t2－5t＋12；当2＜t＜6时，S＝4.

【解析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三点，把三点坐标代入抛物线表达式中，联立方程解出a、b、c．
（2）过M作MN⊥OE于N，则MN=2，由题意可知CP=FQ=t，当0≤t<2时，OP=6-t，OQ=2-t，列出S与t的关系式，当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2<t<6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可证三角形全等，进而计算出三角形面积．

（1）∵抛物线经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），
∴c=4，
，
解得a= ，b=，c=4．
∴抛物线的解析式为y=－x2＋x＋4．
四边形OADE为正方形．

(2)根据题意可知OE＝OA＝4，OC＝6，OB＝OF＝2，

∴CE＝2，CO＝FA＝6.

∵运动的时间为t秒，

∴CP＝FQ＝t.

过点M作MN⊥OE于点N，则MN＝2.

如图，

当0≤t＜2时，OP＝6－t，OQ＝2－t，

∴S＝S△OPM＋S△OPQ＝ (6－t)×2＋ (6－t)(2－t)＝ (6－t)(4－t)，

即S＝t2－5t＋12.

当t＝2时，点Q与点O重合，点M，O，P，Q不能构成四边形．

如图，

当2＜t＜6时，连结MO，ME，则MO＝ME且∠QOM＝∠PEM＝45°.

∵FQ＝CP＝t，FO＝CE＝2，

∴OQ＝EP，

∴△QOM≌△PEM，

∴S四边形OPMQ＝S△MOE＝×4×2＝4.

综上所述，当0≤t＜2时，S＝t2－5t＋12；

当2＜t＜6时，S＝4.

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