Question

要使2⁶+2¹⁰+2^x为完全平方数，那么非负整数x可以是     ．（要求写出x的3个值）

Answer 1

【答案】分析：根据完全平方公式得到（2⁵+1）²=2¹⁰+2•2⁵+1=2¹⁰+2⁶+1，要使2⁶+2¹⁰+2^x为完全平方数，2^x可以为1，即2^x=1=2，即可解得x的值；又（2⁵+2³）²=2¹⁰+2•2⁸+2⁶=2¹⁰+2⁶+2⁹，或（2⁶+2³）²=2¹²+2•2⁹+2⁶=2¹⁰+2⁶+2¹²，同样能得到x的值．
解答：解：∵2⁶=（2³）²，2¹⁰=（2⁵）²，
∴（2⁵+1）²=2¹⁰+2•2⁵+1=2¹⁰+2⁶+1，
∴要使2⁶+2¹⁰+2^x为完全平方数，2^x可以为1，
即2^x=1=2，解得x=0；
又∵（2⁵+2³）²=2¹⁰+2•2⁸+2⁶=2¹⁰+2⁶+2⁹，
∴要使2⁶+2¹⁰+2^x为完全平方数，2^x可以为2⁹，
即2^x=2⁹，解得x=9；
又∵（2⁶+2³）²=2¹²+2•2⁹+2⁶=2¹⁰+2⁶+2¹²，
∴要使2⁶+2¹⁰+2^x为完全平方数，2^x可以为2¹²，
即2^x=2¹²，解得x=12；
故答案为：0，9，12．
点评：本题考查了完全平方公式：a²+2ab+b²=（a+b）²．也考查了正整数的幂的性质．