题目内容

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，与y轴交于点C，下面五个结论：①abc＜0；②2a+b=0； ③a+b+c＜0；④c=-3a；⑤只有a= $数学公式$ 时，△ABD是等腰直角三角形，其中正确的结论有

A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个

C
分析：由于抛物线开口向上得到a＞0；利用对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ ＞0得到b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对①进行判断；
由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，得到对称轴为直线x=1，则- $\text{[math]}$ =1，即2a+b=0，可对②进行判断；
当x=1时，y＜0，可对③进行判断；
当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，而b=-2a，可得到a与c的关系，可对④进行判断；
由a= $\text{[math]}$ ，则b=-1，c=- $\text{[math]}$ ，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，然后利用三角形边的关系可得到△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，于是可对⑤进行判断．
解答：∵抛物线开口向上，

∴a＞0；
∵对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ ＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，则abc＞0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，则- $\text{[math]}$ =1，即2a+b=0，所以②正确；
∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，所以③正确；
∵A点坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，而b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a，所以④正确；
当a= $\text{[math]}$ ，则b=-1，c=- $\text{[math]}$ ，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ ，
把x=1代入得y= $\text{[math]}$ -1- $\text{[math]}$ =-2，
∴D点坐标为（1，-2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形，所以⑤正确．
故选C．
点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ ；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．