Question

14．如图，在?ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF=BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG=DC．

Answer 1

分析 先根据平行四边形的性质得到∠B=∠D，AB=CD，再利用垂直的定义得∠AEB=∠GFD=90°，于是可根据“ASA”判定△AEB≌△GFD，根据全等的性质得AB=DC，所以有DG=DC．

解答 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∵AE⊥BC，FG⊥CD，
∴∠AEB=∠GFD=90°，
在△AEB和△GFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{BE=DF}\\{∠AEB=∠GFD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△GFD，
∴AB=DG，
∴DG=DC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了平行四边形的性质．