Question

在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线y=

3

4

x-

3

4

，若点C在已知直线上，且使△ABC为直角三角形，则点C的坐标是

 

．

Answer 1

分析：此题需先根据题意画出图象，再分三种情况进行解答，当点C在C₁处和C₂处时，△ABC为直角三角形，可以直接求出点C的横坐标，再代入一次函数的解析式，即可求出点C的纵坐标，当点C在C₃处时，过C₃作C₃M⊥AB，设C₃的横坐标是x，根据△AMC₃∽△C₃MB，得出AM：C₃M=C₃M：BM，然后再列出方程，求出x即可得出点C的坐标．

解答：解；当点C在C₁处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（3，

3

2

），
当点C在C₂处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（9，6）
当点C在C₃处时，△ABC为直角三角形，过C₃作C₃M⊥AB，
设C₃的横坐标是x，
则C₃M=

3

4

x-

3

4

，AM=x-3，BM=9-x，
∵△AC₃B是直角三角形，
∴△AMC₃∽△C₃MB，
∴AM：C₃M=C₃M：BM，
∴C₃M²=AM•BM，
∴（

3

4

x-

3

4

）²=（x-3）（9-x），
解得：x=

21

5

，
点C的纵坐标是：

3

4

×

21

5

-

3

4

=

12

5

，
∴点C的坐标是：（

21

5

，

12

5

）；
故答案为：（3，

3

2

），（9，6），（

21

5

，

12

5

）．

点评：此题考查了一次函数的应用；解题的关键是确定出当△ABC为直角三角形时，点C所在的位置，要注意分三种情况进行解答，不要漏解．