Question

如图，直线y=-

3

4

x经过抛物线y=ax²+8ax-3的顶点M，点P（x，y）是抛物线上的动点，点Q是抛物线对称轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PQ∥OM时，设线段PQ的长为d，求d关于x的函数解析式；
（3）当以P、Q、O、M四点为顶点的四边形是平行四边形时，求P、Q两点的坐标．

Answer 1

分析：（1）抛物线y=ax²+8ax-3的顶点可以用a表示出来，把这个点的坐标代入直线的解析式就可以求出a的值．得到二次函数的解析式．
（2）求出直线OM的解析式．设P的坐标是（x，-

3

8

x²-3x-3），根据直线斜率的含义即可求得PQ的长．
（3）线段OM的长度可以求出，进而求出OM的解析式，便可解决．

解答：解：（1）抛物线y=ax²+8ax-3的顶点是（-4，-16a-3），代入y=-

3

4

x，
得到-16a-3=3，
解得a=-

3

8

因而函数是y=-

3

8

x²-3x-3

（2）∵a=-

3

8

，∴-16a-3=3，
∴抛物线y=-

3

8

x²-3x-3的顶点坐标是（-4，3），
设直线OM的解析式是y=kx，把x=-4，y=3代入得3=-4k，
解得k=-

3

4

，
点P（x，y）即（x，-

3

8

x²-3x-3），
作PE⊥MQ于点E．则PE=x+4或-4-x．
∵PQ∥OM，
∴

EQ

PE

=

3

4

∴

PE

PQ

=

4

5

，
∴d=-

5

4

x-5或d=

5

4

x+5；

（3）如图P₁，Q₁时MP₁=OQ₁=3，直接得出点的坐标：
P₁（0，-3），Q1（-4，0）；
当MP₂=OQ₂=3时，直接得出点的坐标：P₂（0，-3），Q₂（-4，6）；
∵MO=5，
∵根据点到直线的距离公式得到d=

5

4

x±5，
∴x=-8时，d=5，
∴P点的横坐标为-8，代入二次函数解析式求出纵坐标即可，
∴P（-8，-3），Q（-4，-6）；
故答案为：P₁（0，-3），Q₁（-4，0）；P₂（0，-3），Q₂（-4，6）；P（-8，-3），Q（-4，-6）．

点评：本题考查了二次函数顶点坐标的求解方法，点到直线的线段的距离公式．