Question

已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；
（2）首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．

解答：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=

1

2

∠ADC=

1

2

×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE=

1

2

CD，OF=

1

2

BC，AO=

1

2

AD，
∴0E=OF=OA，
∴点O即为△AEF的外心．

（2）解：猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，以及菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．