Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，BD与过点C的直线互相垂直，垂足为点D，BD与半圆O交于点E，且BC平分∠DBA．

（1）求证：CD是半圆O的切线．

（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4．

【解析】

试题分析：（1）首先连接OC，由OB=OC，BC平分∠DBA，易证得OC∥BD，又由BD⊥CD，即可证得结论；

（2）首先根据切割线定理求得BD，然后根据勾股定理求得BC，连接AC，通过证得△ABC∽△CBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AB．

（1）证明：连接OC，

∵OB=OC，

∴∠1=∠2，

∵BC平分∠DBA，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥BD，

∵BD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∵C是半圆O上的一点，

∴CD与半圆O相切；

（2）连接AC，

∵CD是切线，

∴CD2=DEBD，

∵DC=8，BE=4，

设BD=x，则82=x（x﹣4），

解得x=2+2，

∴BD=2，

∵∠BDC=90°，

∴BC2=CD2+BD2=64+（2+2）2，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°=∠BDC，

∵∠BDC=∠ABC，

∴△CDB∽△ACB，

∴，

∴AB==4．