Question

15．四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径作⊙A，点E是DC边上一点，EF与⊙A相切于点P交BC于点F．
（1）如图①，连续AE，AF，求∠EAF的度数．
（2）如图②，若∠CEF=45°，求证：点P是EF的中点．

Answer 1

分析 （1）连结AP，如图①，根据正方形的性质得AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则可判断BC和CD为⊙A的切线，于是根据切线长定理得ED=EP，FP=FB，则根据角平分线的性质定理的逆定理可判断AE平分∠DAP，即∠1=∠2，同理可得∠3=∠4，所以∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，即∠EAF=45°；
（2）如图②，由（1）得ED=EP，FP=FB，由∠CEF=45°得CE=CF，由于CD=CB，则DE=BF，则PE=PF，于是可判断点P是EF的中点．

解答 （1）解：连结AP，如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，
∴BC和CD为⊙A的切线，
而EF与⊙A相切于点P，
∴ED=EP，FP=FB，
∴AE平分∠DAP，
∴∠1=∠2，
同理可得∠3=∠4，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
即∠EAF=45°；
（2）证明：如图②，
由（1）得ED=EP，FP=FB，
∵∠CEF=45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE=CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，
∴CD-CE=CB-CF，即DE=BF，
∴PE=PF，
即点P是EF的中点．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了正方形的性质和切线长定理．