Question

【题目】如图1,在矩形的边上存在点,使得,我们称点为矩形的“和谐点

(1)求证: ;

(2)如图2,矩形的顶点的坐标为为坐标原点,点分别在轴和轴上,在边上是否存在“和谐点”，如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由

(3)在(2)中,如果点的坐标为,且在上存在“和谐点”求的取值范围

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2)存在.和.(3) 且．

.

【解析】

（1）先说明，再结合即可证明；

（2）由题意可知，以为直径作圆与边交于点，即为点P “和谐点”．连接，再由（1）得到，则运用相似三角形的性质计算即可；

（3）如图：当B在第一象限时，以为直径的圆与边相切于点时,点的纵坐标最大,则确定m的最大值；同理，当B在第一象限时，确定m的最小值．

解:(1)∵四边形是矩形,

∴

∴

∴

∴

∵

∴

(2)存在.理由如下:

∵四边形是矩形,点的坐标为

∴

如图,以为直径作圆与边交于点,连接，则,

∴点为矩形的“和谐点”

由(1)的方法可知,

解得或

∴点的坐标为或

综上所述,符合条件的点有两个: 和.

(3)如图, 当B在第一象限时，以为直径的圆与边相切于点时,点的纵坐标最大,此时；

同理：当B在第一象限时，可以得到点的纵坐标的最小值,此时；

当向下移动时(不与轴重合),圆与边有两个交点，则.

所以的取值范围是且．