Question

【题目】已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．

（1）根据题意补全图1；

（2）求证：

①∠OAC＝∠DCB；

②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；

（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由见解析

【解析】

（1）根据题意即可补全图形；

（2）①由旋转得∠ACD＝120°，由三角形内角和得出∠DCB+∠ACO＝60°，∠OAC+∠ACO＝60°，即可得出结论；

②在OA上截取OE＝OC，连接CE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝30°，∠AEC＝150°，得出∠AEC＝∠CBD，易证AE＝BC，由ASA证得△AEC≌△CBD，即可得出结论；

（3）猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝60°，得出△OFC 是等边三角形，则CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，由SAS证得△CFH≌△COA，得出∠H＝∠OAC，由三角形外角性质得出∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，则∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，由CA＝CD，∠ACD＝120°，得出∠CAD＝30°，即可得出∠DCH＝2∠DAH．

解：（1）根据题意补全图形，如图1所示：

（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，

∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，

∵∠MON＝120°，

∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，

∴∠OAC＝∠DCB；

②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：

则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，

∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，

由旋转得：∠CBD＝150°，

∴∠AEC＝∠CBD，

∵OA＝OB，OE＝OC，

∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，

，

∴△AEC≌△CBD（ASA），

∴CD＝CA；

（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：

在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：

则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，

∴△OFC 是等边三角形，

∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，

在△CFH和△COA中，

，

∴△CFH≌△COA（SAS），

∴∠H＝∠OAC，

∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，

∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，

∵CA＝CD，∠ACD＝120°，

∴∠CAD＝30°，

∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．