Question

【题目】如图，边长为2的正方形纸片ABCD中，点M为边CD上一点（不与C，D重合），将△ADM沿AM折叠得到△AME，延长ME交边BC于点N，连结AN．

（1）猜想∠MAN的大小是否变化，并说明理由；

（2）如图1，当N点恰为BC中点时，求DM的长度；

（3）如图2，连结BD，分别交AN，AM于点Q，H．若BQ＝，求线段QH的长度．

Answer 1

【答案】（1）∠MAN的大小没有变化，理由见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由折叠知AD=AE、DM=EM、∠D=∠AEM=90°、∠DAM=∠EAM=∠DAE，再证Rt△BAN≌Rt△EAN得∠BAN=∠EAN=∠BAE，根据∠MAN=∠EAM+∠EAN=（∠DAE+∠BAE）可得答案；

（2）由题意知EN=BN=CN=1，设DM=EM=x，则MC=2-x、MN=1+x，在Rt△MNC中，由MC2+CN2=MN2列出关于x的方程求解可得；

（3）将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得△ADG，连接GH，由旋转知DG=BQ=，AG=AQ，∠ADG=∠ABQ=∠ADB=45°，∠BAQ=∠DAG，证△GAH≌△QAH得GH=QH，设GH=QH=a，得BD=AB=2，BQ=，DQ=，DH=-a，在Rt△DGH中，由DG2+DH2=GH2可得关于a的方程，解之可得答案．

（1）∠MAN的大小没有变化，

∵将△ADM沿AM折叠得到△AME，

∴△ADM≌△AEM，

∴AD＝AE＝2、DM＝EM、∠D＝∠AEM＝90°、∠DAM＝∠EAM＝∠DAE，

又∵AD＝AB＝2、∠D＝∠B＝90°，

∴AE＝AB、∠B＝∠AEM＝∠AEN＝90°，

在Rt△BAN和Rt△EAN中，

∵，

∴Rt△BAN≌Rt△EAN（HL），

∴∠BAN＝∠EAN＝∠BAE，

则∠MAN＝∠EAM+∠EAN＝∠DAE+∠BAE＝（∠DAE+∠BAE）＝∠BAD＝45°，

∴∠MAN的大小没有变化；

（2）∵N点恰为BC中点，

∴EN＝BN＝CN＝1，

设DM＝EM＝x，则MC＝2﹣x，

∴MN＝ME+EN＝1+x，

在Rt△MNC中，由MC2+CN2＝MN2可得（2﹣x）2+12＝（1+x）2，

解得：x＝，即DM＝；

（3）如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得△ADG，连接GH，

则△ABQ≌△ADG，

∴DG＝BQ＝、AG＝AQ、∠ADG＝∠ABQ＝∠ADB＝45°、∠BAQ＝∠DAG，

∵∠MAN＝∠BAD＝45°，

∴∠BAQ+∠DAM＝∠DAG+∠DAM＝∠GAH＝45°，

则∠GAH＝∠QAH，

在△GAH和△QAH中，

∵，

∴△GAH≌△QAH（SAS），

∴GH＝QH，

设GH＝QH＝a，

∵BD＝AB＝2，BQ＝，

∴DQ＝BD﹣BQ＝，

∴DH＝﹣a，

∵∠ADG＝∠ADH＝45°，

∴∠GDH＝90°，

在Rt△DGH中，由DG2+DH2＝GH2可得（）2+（﹣a）2＝a2，

解得：a＝，即QH＝．