Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝2，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，当BE的长为________时，△CDF为等腰三角形。

Answer 1

【答案】，1，2－

【解析】过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根据相似三角形的性质进行求解．

①当CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，如图1，则CM∥AE，DM=MF，

延长CM交AD于点G，∴AG=GD=1，∴CE=1，∴当BE=1时，△CDF是等腰三角形；

②当DF=DC时，如图2，则DC=DF=．

∵DF⊥AE，AD=2，∴∠DAE=45°，则BE=，

∴当BE=时，△CDF是等腰三角形；

③当FD=FC时，如图3，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．

∵AB=，BE=x，∴AE=，AF=．

∵△ADF∽△EAB，∴=，x2﹣4x+2=0，解得：x=2±，∴当BE=2﹣时，△CDF是等腰三角形．

综上，当BE=1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形．

故答案为：1、、2﹣．