Question

一量角器的直径与30°的较长直角板直角边重合，且直角板Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，量角器半⊙O从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如左图所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，半⊙O分别与AB相交于点M，N．当点F运动到点C时，半⊙O终止运动，此时半⊙O恰好与AB相切，设半⊙O平移的时间为x．
（1）求半⊙O的半径？
（2）用含x的代数式表示MN；
（3）求BN的最大值？

Answer 1

解：（1）如图1，连接OM，设⊙O的半径为r，
∵AB与半⊙O相切，
∴OM⊥AB，
∴∠OMB=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴BO=2OM=2，
∴BC=BO+OC=2r+r=3r，
∵BC=6，
∴3r=6，
∴r=2，
答：⊙O的半径为2；

（2）如图2，过点O作OD⊥AB于D，
∴∠BDO=90°，
∵∠A=60°，
∴OD=OB=（x+2），
∵∠NDO=90°，
∴OD²+ND²=NO²，
∴（（x+2））²+ND²=2²，
∴ND=，
∵OD⊥MN，
∴MN=2ND=2=；

（3）∵BD=（x+2），DN=，
∴BN=（x+2）+，
设BN=y，则y=（x+2）+，
∴=y-（x+2），
∴（x+2）²-y（x+2）+y²-4=0，
∵此方程中x+2有实数解，
∴b²-4ac=（y）²-4（y²-4）≥0，
∴y²≤16，
∴y≤4，
所以BN的最大值为4．
分析：（1）首先连接OM，设⊙O的半径为r，由AB与半⊙O相切，根据切线的性质与直角三角形的性质，即可求得r的值；
（2）首先过点O作OD⊥AB于D，由∠A=60°，可得OD=OB=（x+2），然后由OD²+ND²=NO²，列方程即可求得ND的值，又由OD⊥MN，可得MN的值；
（3）由BD=（x+2），DN=，可得BN=（x+2）+，然后设BN=y，可得（x+2）²-y（x+2）+y²-4=0，又由此方程中x+2有实数解，由判别式b²-4ac求得BN的最大值．
点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，一元二次方程的判别式等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．