Question

一量角器的直径与30°的较长直角板直角边重合，且直角板Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，量角器半⊙O从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如左图所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，半⊙O分别与AB相交于点M，N．当点F运动到点C时，半⊙O终止运动，此时半⊙O恰好与AB相切，设半⊙O平移的时间为x．
（1）求半⊙O的半径？
（2）用含x的代数式表示MN；
（3）求BN的最大值？

Answer 1

分析：（1）首先连接OM，设⊙O的半径为r，由AB与半⊙O相切，根据切线的性质与直角三角形的性质，即可求得r的值；
（2）首先过点O作OD⊥AB于D，由∠A=60°，可得OD=

1

2

OB=

1

2

（x+2），然后由OD²+ND²=NO²，列方程即可求得ND的值，又由OD⊥MN，可得MN的值；
（3）由BD=

3

2

（x+2），DN=

3- 1 4 x2-x

，可得BN=

3

2

（x+2）+

3- 1 4 x2-x

，然后设BN=y，可得（x+2）²-

3

y（x+2）+y²-4=0，又由此方程中x+2有实数解，由判别式b²-4ac求得BN的最大值．

解答：解：（1）如图1，连接OM，设⊙O的半径为r，
∵AB与半⊙O相切，
∴OM⊥AB，
∴∠OMB=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴BO=2OM=2，
∴BC=BO+OC=2r+r=3r，
∵BC=6，
∴3r=6，
∴r=2，
答：⊙O的半径为2；（3分）

（2）如图2，过点O作OD⊥AB于D，（4分）
∴∠BDO=90°，
∵∠A=60°，
∴OD=

1

2

OB=

1

2

（x+2），（5分）
∵∠NDO=90°，
∴OD²+ND²=NO²，
∴（

1

2

（x+2））²+ND²=2²，
∴ND=

3- 1 4 x2-x

，（6分）
∵OD⊥MN，
∴MN=2ND=2

3- 1 4 x2-x

=

-x2-4x+12

；（7分）

（3）∵BD=

3

2

（x+2），DN=

3- 1 4 x2-x

，
∴BN=

3

2

（x+2）+

3- 1 4 x2-x

，（8分）
设BN=y，则y=

3

2

（x+2）+

3- 1 4 x2-x

，
∴

3- 1 4 x2-x

=y-

3

2

（x+2），
∴（x+2）²-

3

y（x+2）+y²-4=0，
∵此方程中x+2有实数解，
∴b²-4ac=（

3

y）²-4（y²-4）≥0，（9分）
∴y²≤16，
∴y≤4，
所以BN的最大值为4．（10分）

点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，一元二次方程的判别式等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．