Question

在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，O是AB边上的一个动点，⊙O是以OA半径的圆．
（1）如图1，当OA=4时，判断CD与⊙O的位置关系；
（2）如图2，⊙O与CD边相交于点P，过点P的切线交AD于Q点，连接OP，求DQ的长；
（3）如图3，⊙O与CD边相交于点P，M两点（M点在C点右侧），过P点的切线交AD于Q点，连接AM，AP，OP，OC，当∠AMD=∠OCB时，求DQ的长．

Answer 1

分析：（1）作OH⊥DC于H，则OH=4，由于OA=4，则OH=OA，则可根据切线的判定定理得到CD与⊙O相切；
（2）作OH⊥DC于H，设OA=OC=R，则OB=8-R，在Rt△OBC中根据勾股定理可计算出R=5，则OB=3，CH=3，根据垂径定理得到PH=CH=3，所以DP=2，在判断AQ为⊙O的切线，根据切线长定理得到QA=QP，设DQ=x，则AQ=4-x，然后在Rt△DPQ中利用勾股定理即可计算出x；
（3）作OH⊥DC于H，由于∠AMD=∠OCB，根据相似三角形的判定得Rt△OBC∽Rt△AMD，利用相似比可计算出OB=2，则OA=DH=6，在Rt△OHP中利用勾股定理计算出PH=2

5

，则DP=6-2

5

，然后与（2）一样计算DQ的长．

解答：解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
作OH⊥DC于H，如图1，
∵AD=4，AB=8，OA=4，
∴四边形OADH为正方形，
∴OH=OA=4，
∴CD与⊙O相切；

（2）作OH⊥DC于H，如图2，
设OA=OC=R，则OB=AB-OA=8-R，
在Rt△OBC中，∵OC²=BC²+OB²，
∴R²=4²+（8-R）²，解得R=5，
∴OB=8-5=3，
∴CH=OB=3，
∵OH⊥DC，
∴PH=CH=3，
∴DP=DC-PH-CH=2，
∵QA⊥OA，
∴AQ为⊙O的切线，
∵PQ为⊙O的切线，
∴QA=QP，
设DQ=x，则AQ=4-x，
在Rt△DPQ中，∵PQ²=DQ²+DP²，
∴（4-x）²=x²+2²，解得x=

3

2

，
即DQ的长为

3

2

；

（3）作OH⊥DC于H，如图3，
∵∠AMD=∠OCB，
∴Rt△OBC∽Rt△AMD，
∴

OB

AD

=

BC

DM

，即

OB

4

=

4

8

，解得OB=2，
∴OA=DH=6，
在Rt△OHP中，OP=6，OH=4，
∴PH=

OP2-OH2

=2

5

，
∴DP=DH-PH=6-2

5

，
与（2）一样得到QA=QP，
设DQ=t，则AQ=4-t，
在Rt△DPQ中，∵PQ²=DQ²+DP²，
∴（4-t）²=t²+（6-2

5

）²，解得x=3

5

-5，
即DQ的长为3

5

-5．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的切线的判定与性质、垂径定理、切线长定理和矩形的性质；会运用勾股定理和三角形相似的性质进行几何计算．