Question

（2012•岱岳区二模）半径为2的⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，弦MN=2

3

，且MN在正方形的对角线BD上，则正方形的边长为

4+

2

或4-

2

．

Answer 1

分析：首先取BD的中点E，连接AE，OM，ON，OP，OQ，由BD是正方形ABCD的对角线，可得AE⊥BD，又由⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，证得四边形APOQ是正方形，根据切线长定理，可得AE过圆心O，则可求得OE与OA的长，可得AE的长，继而求得答案，解题时注意对圆心位置的讨论．

解答：解：①当圆心O在对角线BD的上方时，
取BD的中点E，连接AE，OM，ON，OP，OQ，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴AE⊥BD，
∵⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，
∴OP⊥AB，OQ⊥AD，
∵OP=OQ，
∴四边形APOQ是正方形，
∴OA=

2

OQ=2

2

，
∴∠QAE=∠PAE，
∴AE过⊙O的圆心O，
∴OE⊥BD，
∵OM=ON=2，MN=2

3

，
∴OE=1，
∴AE=OA+OE=2

2

+1，
∴AB=

AE

sin45°

=

2

AE=4+2

2

，
②当圆心O在对角线BD的下方时，
有①可知AE=OA-OE=2

2

-1，
∴AB=

AE

sin45°

=

2

AE=4-2

2

故答案为：4+2

2

或4-2

2

．

点评：此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．