Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，cosB．动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒．联结BD．

（1）当AD=AB时，求tan∠ABD的值；

（2）以A为圆心，AD为半径画⊙A；以点B为圆心、BE为半径画⊙B．讨论⊙A与⊙B的位置关系，并写出相对应的t的值．

（3）当△BDE为直角三角形时，直接写出tan∠CBD的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①当两圆外离时，；②当两圆外切时，；③当两圆相交时，；④当两圆内切时，t=5；⑤当两圆内含时，t＞5；（3）tan∠CBD的值是或或或．

【解析】

（1）先根据三角函数定义可得BC＝4，由勾股定理计算AC＝3，最后证明∠ABD＝∠D，计算∠D的正切即可；

（2）分情况讨论，根据两圆外离，外切，相交，内切，内含的定义可得结论；

（3）当△BDE为直角三角形时，分D在线段AC上和射线AC上两种情况，再分∠BDE＝90°和∠DBE＝90°分别画图，根据三角形相似和三角函数列比例式可解决问题．

（1）在△ABC中，

∵∠ACB=90°，AB=5，，

∴，

∴BC=ABcos∠ABC=54，

∴，

当AD=AB=5时，∠ABD=∠D，

∴CD=AD﹣AC=5﹣3=2，

在Rt△BCD中，，

∴tan∠ABD=tan∠D=2；

（2）如图2，⊙A经过点E，两圆外切，

由题意得：AD=t，BE=2t，

∴t+2t=5，

解得：t，

①当两圆外离时，由题意得5＞3t，解得：；

②当两圆外切时，如图2，；

③当两圆相交时，由题意得t＜5＜3t，解得：；

④当两圆内切时，如图3，由题意得2t﹣t=5，解得：t=5；

⑤当两圆内含时，由题意得0≤5＜t，解得：t＞5；

（3）①当D在线段AC上，且∠BED=90°时，如图4，

∵cosA，即，

解得：，

∴CD=3，

∴；

②当D在线段AC上，且∠BDE=90°，如图5，过E作EF∥BC，交AC于F，

∴AE=5﹣2t．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，即，

∴AF=3t，EF=4t．

∵AD=t，

∴CD=3﹣t，DF=AD﹣AF=t﹣(3t)t﹣3．

∵∠BDE=∠EDF+∠CDB=∠CDB+∠CBD=90°，

∴∠EDF=∠CBD．

∵∠EFD=∠C=90°，

∴△EFD∽△DCB，

∴，即，

∴4(4t)=(3﹣t)(t﹣3)，

解得：t1=5(舍)，，

∴tan∠CBD；

③当D在线段AC的延长线上，且∠BDE=90°时，如图6，过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，即，

∴AFt﹣3，EFt﹣4．

∵AD=t，

∴CD=t﹣3，DF=AD+AF=t+(t﹣3)t﹣3，

同理得△EFD∽△DCB，

∴，即，

∴4(t﹣4)=(t﹣3)(t﹣3)，

解得：t1=5，(舍)，

∴tan∠CBD；

④当D在线段AC的延长线上，且∠DBE=90°时，如图7，

∵∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠CDB，

∴∠ABC=∠CDB，

∴tan∠ABC=tan∠CDB，即，

解得：，

∴tan∠CBD；

综上，tan∠CBD的值是或或或．