Question

如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线l绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但P点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论；
（2）设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围。
（3）若题中的“P点必须在第一象限内”改为“P点在直线x=1上”，其他条件不变，求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。 

Answer 1

解：（1）OC=CP
证明：过点C作ED∥OB交直线x=1于点D，交y轴于点E
∴∠OEC=∠EOB=90°，∠OBD=∠BDE=90°
∴四边形OBDE是矩形 ∴OE=BD
∵OA=OB   ∴∠ACE=∠EAC=45° ∴∠BCD=∠CBD=45° ∴CD=DB   ∴OE=CD　　
∵OC⊥CP   ∴∠1+∠3=90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠2
∵∠OEC=∠PDC=90° ∴△OCE≌△CPD　 ∴OC=CP　
（2）∵AC=t   ∴AE=
∵AO=1   ∴OE= 　∴BD=　　∴b=PB=DB-DP=-DP 　
∵DP=EC=　 ∴b=　　　　　　　　
∵点P在第一象限内  ∴b=（0≤t＜）
（3）当t=0时，即点C与点A重合时△PBC为等腰三角形 ∴P（1，1）　　　　　　　　　　
当点P在第四象限且CB=BP时，有BD=CD=
∴BP=BC=CD=-t   ∴DP=BD+BP=+-t
由（2）知，DP=CE=   ∴+-t=
∴t=1　　 ∴CB=AB-AC=-t=-1
∴PB=CB=-1　　　
∵点P在第四象限 ∴P（1，1-）
综上可知：P点坐标为（1，1）或（1，1-）