Question

已知：如图，点I在x轴上，以I为圆心、r为半径的半圆I与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点D，顺次连接I、D、B三点可以组成等边三角形．过A、B两点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点P也在半圆I上．
（1）证明：无论半径r取何值时，点P都在某一个正比例函数的图象上．
（2）已知两点M（0，-1）、N（1、0），且射线MN与抛物线y=ax²+bx+c有两个不同的交点，请确定r的取值范围．
（3）请简要描述符合本题所有条件的抛物线的特征．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线过A、B两点，得到抛物线的对称轴在过I且垂直x轴的直线上，根据等边△BID和三角形的内角和定理求出∠IDO=30°，推出OI=

1

2

r，即可得出顶点P在直线y=2x上；
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b，把M（0，-1），N（1，0）代入得到方程组

-1=b 0=k+b

，求出方程组的解即可得出直线y=x-1，设y=ax²+bx+c=a（x-

3

2

r）（x+

1

2

r），把P（

1

2

r，-r）代入求出a=-

1

r

，把y=x-1代入y=-

1

r

（x-

3

2

r）（x+

1

2

r）得出方程-

1

r

x²+

3

4

r+1=0，求出b²-4ac的值即可；
（3）根据抛物线的图象即可得到开口向上，与X轴有两个交点且一个在X轴的正半轴上，一个在X轴的负半轴上，抛物线的顶点在直线y=2x上．

解答：（1）证明：∵抛物线过A、B两点，
∴抛物线的对称轴在过I且垂直x轴的直线上，
∵△BID是等边三角形，
∴∠BID=60°，
∵X轴⊥Y轴，
∴∠IOD=90°，
∴∠IDO=30°，
∴OI=

1

2

r，
∴顶点P的坐标是（

1

2

r，-r），
∴P在直线y=-2x上．

（2）解：设直线MN的解析式是y=kx+b，
把M（0，-1），N（1，0）代入得：

-1=b 0=k+b

，
解得：k=1，b=-1，
∴y=x-1，
∵y=ax²+bx+c=a（x-

3

2

r）（x+

1

2

r），
把P（

1

2

r，r）代入得：r=a（

1

2

r-

3

2

r）（

1

2

r+

1

2

r），
∴a=-

1

r

，
把y=x-1代入y=-

1

r

（x-

3

2

r）（x+

1

2

r）得：-

1

r

x²+

3

4

r+1=0，
b²-4ac=-4（-

1

r

）（

3

4

r+1）＞0，
∴r＜

4

3

，
∵M（0，-1），
∴r＜1．
答：r的取值范围是r＜1．

（3）答：符合本题所有条件的抛物线的特征是开口向上，与X轴有两个交点且一个在x轴的正半轴上，一个在X轴的负半轴上，抛物线的顶点在直线y=2x上．

点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，二次函数的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．