Question

如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=

9

x

的图象在第一象限相交于点A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点 B、C，如果四边形OBAC是正方形． 
（1）求一次函数的解析式．
（2）一次函数的图象与y轴交于点D．在x轴上是否存在一点P，使得PA+PD最小？若存在，请求出P点坐标及最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）若四边形OBAC是正方形，那么点A的横纵坐标相等，代入反比例函数即可求得点A的坐标，进而代入一次函数即可求得未知字母k．
（2）在y轴负半轴作OD′=OD，连接AD′，与x轴的交点即为P点的坐标，进而求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵四边形OBAC是正方形，
∴S_{四边形OBAC}=AB²=OB²=9，
∴点A的坐标为（3，3），
∵一次函数y=kx+1的图象经过A点，
∴3=3k+1，
解得k=

2

3

，
∴一次函数的解析式y=

2

3

x+1，

（2）y轴负半轴作OD′=OD，连接AD′，如图所示，AD′与x轴的交点即为P点的坐标，
∵一次函数的解析式y=

2

3

x+1，
∴D点的坐标为（0，1），
∴D′的坐标为（0，-1），
∵A点坐标为（3，3），
设直线AD′的直线方程为y=mx+b，
即

b=-1 3m+b=3

，
解得m=

4

3

，b=-1，
∴直线AD′的直线方程为y=

4

3

x-1，
令y=0，解得x=

3

4

，
∴P点坐标为（

3

4

，0）．

点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解决本题的关键是利用反比例函数求得关键点点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出函数的解析式，解答（2）问时需要求出D′的坐标．