题目内容

如图，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与反比例函数 $数学公式$ 的图象相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B（t，q）在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）用含t的代数式表示直线AB的解析式；
（3）求抛物线的解析式；
（4）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，把△AOB绕点O顺时针旋转90°，请在图②中画出旋转后的三角形，并直接写出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．

解：（1）因为点A（1，4）在双曲线 $\text{[math]}$ 上，
所以k=4．故双曲线的函数表达式为 $\text{[math]}$ ．

（2）设点B（t， $\text{[math]}$ ），t＜0，AB所在直线的函数表达式为y=mx+n，
则有 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
直线AB的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（3）直线AB与y轴的交点坐标为 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ，
整理得2t²+3t-2=0，
解得t=-2，或t= $\text{[math]}$ （舍去）．
所以点B的坐标为（-2，-2）．
因为点A，B都在抛物线y=ax²+bx（a＞0）上，
所以 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以抛物线的解析式为y=x²+3x；

（4）画出图形
点E的坐标是（8，-2）或（2，-8）．
分析：（1）将点A（1，4）代入双曲线 $\text{[math]}$ ，求得k即可；
（2）设点B（t， $\text{[math]}$ ），t＜0，AB所在直线的函数表达式为y=mx+n，将点A、B代入，列出方程组，从而得出直线AB的解析式；
（3）可表示出直线AB与y轴的交点坐标，根据△AOB的面积为3，得2t²+3t-2=0，则求出点B的坐标，将点A，B代入抛物线y=ax²+bx，求出a、b即可；
（4）画出图形，可得出点E的坐标有两个．
点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的关系式，一次函数的关系式，是中考压轴题，难度较大．

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