Question

如图，G是线段AB上的一点，AD∥BC且AD=2BC，∠ABC=2∠ADG，AC与DG相交于点E．
（1）作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）试猜想DE与BF的数量关系，并加以证明．

Answer 1

（1）解：以B为圆心、适当长为半径画弧，交AB、BC于M、N两点，分别以M、N为圆心、大于MN长为半径画弧，两弧相交于点P，过B、P作射线BF交AC于F．

（2）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C．
∵BF平分∠ABC，∴∠ABC=2∠FBC，
又∵∠ABC=2∠ADG，∴∠D=∠FBC，
∴△ADE∽△CBF，
∴==2，
∴DE=2BF．
分析：（1）以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交边BA、BC于两点，再以这两点为圆心，适当长为半径画弧，在∠ABC内部交于点F，连接BF，则射线BF即为所求；
（2）易得，∠DAC=∠C，∠D=∠FBC，进而得出△ADE∽△CBF，进而得出DE与BF的数量关系．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质和基本作图，学生应熟练掌握证明三角形相似的几个判定定理及其性质．