Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：．

Answer 1

证明：（1）在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圆周角相等），
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD．

（2）的结论应该为AD+BD=CD
证明：作CF⊥CD，交DA的延长线于F，
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴O在AB上，∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CDA=∠CBA=45°，
∴∠F=180°-∠FCD-∠CDA=45°=∠CDA，
∴CF=CD，
∵∠FCD=∠ACB=90°，
∴∠FCA=∠BCD，
在△ACF和△BCD中
，
∴△ACF≌△BCD，
∴BD=AF，
∴AD+BD=AD+AF=DF，
在△DCF中，由勾股定理得：DF==CD．
分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠CAB=∠CBA，∠E=∠CDE，根据∠CBA=∠CDA推出∠ECD=∠BCA，推出∠ECA=∠BCD，证△AEC和△BDC全等即可．
（2）根据等腰直角三角形性质求出∠ABC=45°，根据圆周角定理求出∠DCA=∠CBA=45°，根据三角形内角和定理求出∠F=45°，推出CF=CD，根据SAS证△ACF≌△BCD，推出AF=BD，根据勾股定理求出即可．
点评：本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，三角形的内角和定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是根据题意证出△ACE≌△BCD，解题思路是求出证三角形全等的三个条件，题目比较典型，综合性强．