Question

（2013•响水县一模）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=

3

4

x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=-

5

2

．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将图甲中的△ABO沿x轴向左平移得到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上．
（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），通过M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式．并求当为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

分析：（1）把点B的坐标代入抛物线解析式、联合对称轴x=-

b

2a

列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值；
（2）由平移的性质易求点C、D的坐标，将它们的坐标分别代入抛物线解析式进行验证即可；
（3）根据点C、D的坐标易求直线CD的解析式为y=-

3

4

x-

3

4

．根据已知条件知点M、N的横坐标都是t，则l的值就是点M、N的纵坐标之差．由平行四边形的对边相等的性质推知MN=CE=3，利用所求的l与t间的函数式可以求得相应的t的值．

解答：解：（1）由已知，得

- b 2× 3 4 =- 5 2 c=3.

，
解得

b= 15 4 c=3.

．
∴二次函数的解析式为y=

3

4

x2+

15

4

x+3；

（2）在Rt△ABO中，
∵OA=4，OB=3，
∴AB=5．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=AB=5．
∵△ABO沿x轴向左平移得到△DCE，
∴CE=OB=3．
∴C（-5，3）、D（-1，0）．
当x=-5时，y=

3

4

×(-5)2+

15

4

×(-5)+3=3，
当x=-1时，y=

3

4

×(-1)3+

15

4

×(-1)+3=0，
∴C、D在该抛物线上；

（3）设直线CD的解析式为y=kx+b，则

-k+b=0 -5k+b=3.

，
解得

k=- 3 4 b=- 3 4 .

∴y=-

3

4

x-

3

4

．
∵MN∥y轴，
∴M、N的横坐标均为t．
当M在直线CD的上方时，有l=MN=(

3

4

t2+

15

4

t+3)-(-

3

4

t-

3

4

)=

3

4

t2+

9

2

t+

15

4

；
当M在直线CD的下方时，有l=MN=(-

3

4

t-

3

4

)-(

3

4

t2+

15

4

t+3)=-

3

4

t2-

9

2

t-

15

4

．
∴l与t之间的函数解析式为l=

3

4

t2+

9

2

t+

15

4

或l=-

3

4

t2-

9

2

t-

15

4

．
由于MN∥CE，要使以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，只需MN=CE=3，
当

3

4

t2+

9

2

t+

15

4

=3时，解得t1=-2

2

-3，t2=2

2

-3；
当-

3

4

t2-

9

2

t-

15

4

=3时，解得t₃=t₄=-3．
即当t=-2

2

-3或2

2

-3或-3时，以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，平行四边形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．