Question

【题目】已知，平分．

（1）在图1中，若，求证：；

（2）在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析

【解析】

（1）根据含30°角的直角三角形的性质进行证明；
（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立．

（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°．
又∠ABC=∠ADC=90°，
∴AD=AC，AB=AC，
∴AB+AD=AC；
（2）解：结论仍成立．

理由如下：
作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．

则∠CED=∠CFB=90°，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CBF中，

，

∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF．
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠MAC=∠NAC=60°，

∴∠ECA=∠FCA=30°，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，

则有AE=AC，AF=AC，
则AD+AB

=AD+AF+BF

=AD+AF+DE

=AE+AF

=AC+AC

=AC．
∴AD+AB=AC．