Question

如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO=

1

2

，求PO的长．

Answer 1

分析：（1）由切线长定理得①PC=PD，②∠CPO=∠DPA，由垂径定理得③CD⊥BA，④∠CEP=90°，由切割线定理得，⑤PC²=PA•PB；
（2）连接OC，由切线长定理得PC=PD，∠CPO=∠DPA，再由垂径定理得DE，则求得CP，即可得OC，最后根据勾股定理得出OP的长．

解答：解：（1）不同类型的正确结论有：
①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③ACD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC²=PA•PB；

（2）连接OC
∵PC、PD分别切⊙O于点C、D
∴PC=PD，∠CPO=∠DPA
∴CD⊥AB
∵CD=12
∴DE=CE=

1

2

CD=6．
∵tan∠CPO=

1

2

，
∴在Rt△EPC中，PE=12
∴由勾股定理得CP=6

5

∵PC切⊙O于点C
∴∠OCP=90°
在Rt△OPC中，
∵tan∠CPO=

1

2

，
∴

OC

PC

=

1

2

∴OC=3

5

，
∴OP=

OC2+PC2

=15．

点评：本题考查了切线长定理、勾股定理和垂径定理，是一道综合题，难度较大．