Question

【题目】如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A(2,)，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．

（1）求抛物线L的解析式；

（2）点P是抛物线L上一动点．

①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；

②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最小时，求点P的坐标；

（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2；（2）①点⊙P与直线l的位置关系为相切；理由见解析；②点P的坐标为（2，3）；（3）见解析.

【解析】

（1）抛物线的表达式为：y=ax2，将点A坐标代入上式，即可求解；
（2）①点F（0，1），设：点P（m，m2），则PF=m2+1，而点P到直线l的距离为：m2+1，即可求解；②当点P、Q、F三点共线时，|PQ-PF|最小，即可求解；
（3）x2-x1= =4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα=k，则cosα= ，则BC= =4（k2+1），则BC=2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，即可求解．

（1）抛物线的表达式为：y=ax2，
将点A坐标代入上式得：=a（2）2，解得：a=，
故抛物线的表达式为：y=x2①；
（2）①点F（0，1），设：点P（m，m2），
则PF=m2+1=m2+1，
而点P到直线l的距离为：m2+1，
则⊙P与直线l的位置关系为相切；
②当点P、Q、F三点共线时，|PQ-PF|最小，
将点FQ的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：
直线FQ的函数表达式为：y=x+1…②，
联立①②并解得：x=2，
故点P的坐标为：（2，3）；
（3）将抛物线的表达式与直线y=kx+1联立并整理得：
x2-4kx-4=0，
则x1+x2=4k，x1x2=-4，
则y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2，
则x2-x1==4，
设直线BC的倾斜角为α，则tanα=k，则cosα=，则BC==4（k2+1），则BC=2k2+2，
设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，
故直线l总是与以BC为直径的圆相切．