题目内容

设点E、F、G、H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且

=

=

=

=k（k是正数），求四边形EFGH的面积．

【答案】分析：因为本题未对四边形作要求，所以可将题目的条件特殊化，即ABCD为正方形，从而根据四边形EFGH的面积=正方形面积减去四个小三角形面积可很容易得出答案．
解答：

解：如图：
∴可得：AE=BF=CG=DH，EB=FC=GD=HA，
∴可得三角形AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）；
四边形EFGH的面积=正方形面积减去四个小三角形面积，
∵

=k，设EB=1，则AE=k，AB=AE+EB=1+k，
∴AE=

，BE=

，
∴△AEH的面积=

，
∴四边形EFGH的面积1-

．
点评：本题考查面积及等积变换，有一定的难度，通过本题同学们应学会特殊位置化这种方法，它会使问题变得简单且容易思考．

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如图2，若P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，设点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．请你接着往下解决三个问题：
（1）猜想四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状，直接回答

，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图3，在△APB的外部作△APC和△BPD，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其它条件不变，先补全图4，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点H在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是h_M、h_N，四边形MBNH的面积是S．
（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S=

（只要求写出结果，不用证明）；
（2）若顶点H为OB的中点（图2），S=

（只要求写出结果，不用证明）；
（3）按要求完成下列问题：
我们准备探索：当BH=n时，S=

；
①简要写出你的探索过程；②在上面的横线上填上你的结论；③证明你得到的结论．

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如图2，若P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，设点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．请你接着往下解决三个问题：
（1）猜想四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状，直接回答________，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图3，在△APB的外部作△APC和△BPD，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其它条件不变，先补全图4，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

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（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S=______，h_M+h_N=______

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