题目内容

（2012•镇江模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题：
（1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由）
（2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形．
（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．
分析：（1）不能相似，因为相似时，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的锐角不能为30°；
（2）分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，③当QA=QD时，求出AQ长即可；
（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t-2，EQ=5-t，根据△RQE∽△PQA得出
RE
AP
=
EQ
AQ
，代入求出即可．
解答：解：（1）不能相似；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，

分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3；  
②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC-CE=6cm-2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，
由三角形的面积公式得：S△ADE=
1
2
×AD×DE=
1
2
AE×DM，
∴DM=
12
5
cm，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=
32-(
12
5
)2
=
9
5
（cm），
∵DM⊥AQ，AD=DQ，
∴AQ=2AM=
18
5
cm（三线合一定理），
即t=
18
5
；   
③当QA=QD时，
过Q作QN⊥AD于N，
则AN=ND=
3
2
，
∵∠ADC=∠ANQ=90°
∴QN∥DC，
∵DN=AN，
∴EQ=AQ=
1
2
AE=
1
2
×5cm=
5
2
cm，
即t=
5
2

综合上述，当t为3秒或
18
5
秒或
5
2
秒时，△ADQ是等腰三角形．


（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠OCR=∠OAP，
∵在△ROC和△POA中，
∠RCO=∠PAO
OC=OA
∠ROC=∠POA
，
∴△ROC≌△POA（ASA），
∴CR=AP=2t，
∵CE=2，
∴RE=2t-2，EQ=5-t，
∵DC∥AB，
∴△RQE∽△PQA，
∴
RE
AP
=
EQ
AQ
，
2t-2
2t
=
5-t
t
，
解得：t1=3，t2=0（舍去）．
即t=3秒时，直线PQ平分矩形ABCD的面积．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，平行线的性质等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大．
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（1，1）
（1，1）
，△ABC的面积是
4
4
；
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3
3
．
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1.35×109
1.35×109
人（保留3位有效数字）．

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