Question

如图，△ABC内接于⊙O, AD是⊙O直径, E是CB延长线上一点, 且ÐBAE=ÐC.

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；

（2）若EB=AB , ,  AE=24，求EB的长及⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连结BD.   

∵ AD是⊙O的直径，

∴∠ABD =90°.

∴∠1+∠D =90°.

∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，

∴∠D=∠BAE.     

∴∠1+∠BAE=90°.

即 ∠DAE=90°.

∵AD是⊙O的直径，

∴直线AE是⊙O的切线.   

（2）解: 过点B作BF⊥AE于点F, 则∠BFE=90°.

   ∵ EB=AB,

           ∴∠E=∠BAE, EF=AE=×24=12. 

           ∵∠BFE=90°, ,

           ∴=15.           ∴ AB=15.           

           由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE,  

           ∴∠D=∠E.

∵∠ABD=90°,

           ∴  .                设BD=4k，则AD＝5k.

           在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝=3k, 可求得k=5.      

           ∴

           ∴⊙O的半径为.