Question

如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，则
（1）AB=______，BC=______；
（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积=______．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC，AD=BC，
由BE：EA=5：3，设BE=5k，则EA=3k，
由折叠可知：EF=BE=5k，∠EFC=∠B=90°，
在Rt△AEF中，AE=3k，EF=5k，
根据勾股定理得：AF=4k，
又∵∠AFE+∠DFC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DFC=∠AEF，又∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DFC，
∴=，又AE=3k，AF=4k，DC=AB=AE+EB=8k，
∴DF=6k，
∴BC=AD=AF+FD=4k+6k=10k，
在Rt△EBC中，EC=10，BC=10k，EB=5k，
根据勾股定理得：EC²=EB²+BC²，即500=25k²+100k²，
解得：k=2或k=-2（舍去），
则AB=8k=16，BC=10k=20；

（2）连接OM，ON，如图所示：

∵圆O为四边形BEFC的内切圆，
∴AB与圆O相切于点N，BC与圆O相切于M点，
∴∠ONB=∠OMB=90°，又∠B=90°，
∴四边形OMBN为矩形，又OM=ON，
∴四边形OMBN为正方形，设圆的半径为r，
∴OM=BM=r，又BC=20，
∴MC=BC-BM=20-r，
又∵∠OMC=∠B=90°，且∠OCM=∠ECB，
∴△OMC∽△EBC，
∴=，即=，
整理得：20r=200-10r，解得：r=，
则圆O的面积S=πr²=π．
故答案为：（1）16；20；（2）π
分析：（1）由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，对边相等，根据BE：EA=5：3，设BE=5k，则EA=3k，同时由DC=BC=AE+EB表示出DC，由折叠可知EF=EB=5k，在直角三角形AEF中，根据勾股定理得到AF=4k，同时得到∠EFC=∠B=90°，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AEF中得到一对锐角互余，根据同角的余角相等可得出∠DFC=∠AEF，又∵∠A=∠D=90°，利用两对对应角相等的三角形相似可得出三角形AEF与三角形CFD相似，根据相似得比例，将表示出AF，AE，及DC代入，表示出FD，由AF+FD表示出AD，即为BC的长，在直角三角形EBC中，表示出的EB，BC，以及EC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出AB及BC的长；
（2）连接OM，ON，由圆O为四边形的内切圆，得到AB与圆O相切，BC与圆O相切，根据三个角为直角的四边形为矩形可得出BMON为矩形，再由OM=ON，得到OMBN为正方形，设圆的半径为r，则有OM=BM=r，由OM与BC垂直，EB与BC垂直得到一对直角相等，再由一对公共角相等，得到三角形OMC与三角形EBC相似，根据相似得比例，将各自的值代入得到关于r的方程，求出方程的解得到r的值，进而利用圆的面积公式求出圆O的面积．
点评：此题考查了切线的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，同时本题的知识综合性较强，要求学生把所学的知识能融汇贯穿，灵活运用，注意平时常添的辅助线的利用．