Question

如图，在平面直角坐标系中，∠AB0=90°，将直角△AOB绕D点顺时针旋转，使点B落在x轴上的点B1处，点A落在A1处，若B点的坐标为（，），则点A1的坐标是___

Answer 1

(4，-3)

△A₁B₁O是由△ABO旋转得到的，所以OB=OB₁，OA=OA₁，A₁B₁=AB，知道B点坐标，就可以根据勾股定理求出OB=OB₁的长；过B作出△AOB的高，再利用射影定理求出CA的长，从而求出OA=OA₁的长，再次利用勾股定理求可以求出A₁的坐标．

解：过B作BC⊥OA于C，
∵B点的坐标为（，），
∴OB²=（）²+（）²，
∴OB=4，
∵BC²=OC?CA，
∴（）²=?CA，
∴CA=，
∴OA=OC+CA=+=5，
∴OA=OA₁=5，
在△A₁B₁O中：（OA₁）²=（OB₁）²+（A₁B₁）²，
∴5²=4²+（A₁B₁）²，
∴A₁B₁=3，
∴A₁的坐标是（4，-3）．
故答案为：（4，-3）．
此题主要考查了旋转、勾股定理和射影定理，题目综合能力较强，难度适中．