Question

26、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F．
求证：
（1）四边形ABCD是菱形．
（2）BF=DE．

Answer 1

分析：（1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，AD和BC既平行又相等，所以四边形ABCD为平行四边形，而AD=DC=BC，所以平行四边形ABCD为菱形；
（2）要证BF=DE，而在原题中已知AE=DE，所以证明的方向就变为证BF=AE，而证BF=AE则可以通过证△FBM≌△EAM来实现．

解答：证明：（1）∵AD∥BC，AD=BC（已知），∴四边形ABCD为平行四边形．
又邻边AD=DC，
∴四边形ABCD为菱形；（3分）

（2）证法一：如图：
记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．
由（1）证得四边形ABCD为菱形，
所以对角线AC平分∠A，
即∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，AG=AG，
∴△AGM≌AGE，∴AM=AE．（6分）
又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，
∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．
又∵∠BMF=∠AME，
∴△BMF≌△AME．
∴BF=AE．
∴BF=DE．（8分）
证法二：如图：连接BD
∵四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF∥BD
∵BF∥DE
∴四边形BDEF是平行四边形
∴BF=DE（8分）

点评：此题主要考查菱形的判定和平行四边形的基本性质，难易程度适中．