Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60⁰,M是BC的中点。

（1）求证：⊿MDC是等边三角形；

（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值。

Answer 1

（1）证明：过点D作DP⊥BC,于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q,

∵∠C=∠B=60⁰

∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB

又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD,

由已知，点M是BC的中点，

BM=CM=AD=AB=CD,

即⊿MDC中，CM=CD, ∠C=60⁰,故⊿MDC是等边三角形。

（2）解：⊿AEF的周长存在最小值，理由如下：

连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB, ⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形，

∠BMA=∠BME+∠AME=60⁰, ∠EMF=∠AMF+∠AME=60⁰

∴∠BME=∠AMF

在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=60⁰

∴⊿BME≌⊿AMF(ASA)

∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB

∵∠EMF=∠DMC=60⁰ ,故⊿EMF是等边三角形，EF=MF.

∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是。

⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,

⊿AEF的周长的最小值为2+