Question

如图，在△ABC中，AB=6，BC=4，点D在边BC的延长线上，∠ADC=∠BAC，点E在边BA的延长线上，∠E=∠DAC．
（1）找出图中的相似三角形，并证明；
（2）设AC=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）△AED能否与△ABC相似？如果能够，请求出cosB的值；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）△ABC∽△DBA，△CAD∽△AED，由∠B=∠B，∠ADC=∠BAC可以证明△ABC∽△DBA；而∠BAC+∠DAC=∠BAD=∠ADE+∠E，由此得到∠DAC=∠E，这样就∠BAC=∠ADE=∠ADC可以证明△CAD∽△AED；
（2）首先由△ABC∽△DBA可以得到

BA

BD

=

BC

BA

=

AC

DA

，从而可以用x表示DA，并且求出BD，CD=5，由△CAD∽△AED，得到

DE

DA

=

DA

CD

，即DE•CD=DA²，由此得到5y=(

3

2

x)2，这样求出函数解析式，然后也可以求出定义域；
（3）△AED能与△ABC相似．首先利用已知条件讨论相似的情况，得到只有△AED与△ABC相似，然后利用相似三角形的性质和已知条件得到这时∠ACB=∠BAD=90°，最后利用三角函数的定义即可求解．

解答：解：（1）△ABC∽△DBA，△CAD∽△AED．（2分）
证明如下：∵∠B=∠B，∠ADC=∠BAC，
∴△ABC∽△DBA；
∵∠BAC+∠DAC=∠BAD=∠ADE+∠E，∠DAC=∠E，
∴∠BAC=∠ADE=∠ADC，
∴△CAD∽△AED；

（2）∵△ABC∽△DBA，
∴

BA

BD

=

BC

BA

=

AC

DA

，
∴DA=

AC•BA

BC

=

x•6

4

=

3x

2

，
∴BD=

BA2

BC

=

36

4

=9．
∴CD=5．
∵△CAD∽△AED，
∴

DE

DA

=

DA

CD

．
∴DE•CD=DA²，
∴5y=(

3

2

x)2，
∴函数解析式为y=

9

20

x2，定义域为2＜x＜10；

（3）△AED能与△ABC相似．
∵∠BAC=∠ADE=∠ADC，∠BCA＞∠ADC=∠ADE，∠BCA＞∠CAD=∠E，
∴只有∠B=∠E=∠DAC时，△AED与△ABC相似．（1分）
这时，由于∠B+∠BAC+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠DAC=90°，
∴∠ACB=∠BAD=90°，
∴cosB=

BC

AB

=

4

6

=

2

3

．

点评：此题既考查了相似三角形的性质与判定，也考查了三角函数的定义，同时也考查了求函数解析式，综合性比较强，解题的关键是多次利用相似三角形的性质与判定，然后利用三角函数解决问题．