题目内容

某中学团委组织了“争做阳光少年”有奖征文活动，并设立若干奖项．学校计划派人根据设奖情况去购买A、B、C三种奖品共50件，其中B型奖品件数比A型奖品件数的2倍少10件，C型奖品所花费用不超过B型奖品所花费用的1.5倍．各种奖品的单价如表所示．如果计划A型奖品买x件，买50件奖品的总费用是w元．
（1）试求w与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请你设计一种方案，使得购买这三种奖品所花的总费用最少，并求出最少费用．
A型奖品 B型奖品 C型奖品
单价（元） 12 10 5

（1）解：由题意得A型奖品x件，B型奖品（2x-10）件，C型奖品（60-3x）件，
w=12x+10（2x-10）+5（60-3x）=17x+200，
根据题意得出不等式组 $\text{[math]}$ ，
解得x≥10，
∵A型奖品与B型奖品的和要小于总数50件，
∴x+2x-10＜50，
∴x＜20，
∴自变量x的取值范围是10≤x＜20，
答：w与x之间的函数关系式是w=17x+200，自变量x的取值范围是10≤x＜20．

（2）解：在w=17x+200中，
∵17＞0，
∴w随x的减小而减小，
∴当x=10时，w取得最小值，最小值为370，
即购买A型奖品10件，B型奖品10件，C型奖品30件，可使购买这三种奖品所花的总费用最少，最少费用为370元，
答：购买A型奖品10件，B型奖品10件，C型奖品30件，可使购买这三种奖品所花的总费用最少，最少费用为370元．
分析：（1）根据题意求出B型奖品（2x-10）件，C型奖品（60-3x）件，列出算式w=12x+10（2x-10）+5（60-3x）即可，求出不等式组 $\text{[math]}$ 的解集，再根据A型奖品与B型奖品的和要小于总数50件即可求出答案；
（2）根据议程函数的性质求出x取最小时w的值即可．
点评：本题主要考查对一次函数的性质，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．